Question

已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点P（2，1），直线PA₁与PA₂（A₁，A₂为双曲线C的两个顶点）的斜率之积，求双曲线C的标准方程．

Answer 1

解：（1）当双曲线的焦点位于x轴上时，设C：（a＞0，b＞0），
所以A₁（-a，0），A₂（a，0），
所以，
解得a²=3．…2分
将a²=3，P（2，1）代入双曲线方程，得，解得b²=3．…2分
所以双曲线C的标准方程为．…2分
（2）当双曲线的焦点位于y轴上时，设C：（a＞0，b＞0），
所以A₁（0，-a），A₂（0，a），
所以，
解得a²=-3（舍去）．…2分
综上，所求双曲线C的标准方程为．
分析：分类讨论，设出标准方程，确定双曲线的顶点坐标，利用斜率关系及点P的坐标，即可得到结论．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查分类讨论的数学思想，利用待定系数法是关键．