Question

如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，SO的长为3，O到AB，AD的距离分别为2和1，P是SC的中点．
（Ⅰ）求证：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）设Q是棱SA上的一点，若

AQ

=

3

4

AS

，求平面BPQ与底面ABCD所成的锐二面角余弦值的大小．

Answer 1

分析：（I）根据题意，可得S0⊥底面ABCD，结合SO?平面SOB，利用面面垂直判定定理，得平面SOB⊥底面ABCD；
（II）以0为原点，分别以垂直AB、BC的直线为x轴和y轴，0S所在直线为z轴建立空间直角坐标．算出A、B、C、S、P各点的坐标，从而由

AQ

=

3

4

AS

得到Q的坐标，可得

PQ

、

PB

的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法，建立方程组解出

n

=（1，3，5）是平面PQB的一个法向量，结合

SO

=（0，0，-3）是平面ABCD的一个法向量，利用空间向量的夹角公式算出cos＜

n

，

SO

＞=

n • SO

|n| • |SO|

=-

35

7

，即可得到平面BPQ与底面ABCD所成的锐二面角余弦值的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵0是顶点S在底面上ABCD的射影，
∴S0⊥底面ABCD，
又∵SO?平面SOB，
∴平面SOB⊥底面ABCD…（3分）
（Ⅱ）如图，以0为原点，以垂直AB的直线为x轴，垂直BC的直线为y轴，
0S所在的直线为z轴建立空间直角坐标系0-xyz．
由正方形ABCD边长为4，且0到AB、AD的距离分别为2、1，
得A（2，-1，0），B（2，3，0），C（-2，3，0），
S（0，0，3），P（-1，

3

2

，

3

2

）
∴

AQ

=

3

4

AS

，可得Q（

1

2

，-

1

4

，

9

4

），

PQ

=（

3

2

，-

7

4

，

3

4

），

PB

=（3，

3

2

，-

3

2

）
∵

SO

=（0，0，-3）是平面ABCD的一个法向量，
设

n

=（x，y，z）是平面PQB的一个法向量，
由

n • PB =2x+y-z=0 n • PQ =6x-7y+3z

，取x=1得y=3，z=5
∴

n

=（1，3，5），
可得cos＜

n

，

SO

＞=

n • SO

|n| • |SO|

=-

35

7

 
因此，平面PBQ与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值的大小为

35

7

 …（8分）

点评：本题在四棱锥中求证面面垂直，并求平面与平面所成的二面角的大小．着重考查了四棱锥的性质、面面垂直判定定理和利用空间向量研究面面所成角等方法等知识，属于中档题．