精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数f(x)=x3x-16.

(1)求曲线yf(x)在点(2,-6)处的切线的方程;

(2)直线l为曲线yf(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;

(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.

解 (1)可判定点(2,-6)在曲线yf(x)上.

f′(x)=(x3x-16)′=3x2+1.

f′(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为kf′(2)=13.

∴切线的方程为y-(-6)=13(x-2),

即13xy-32=0.

(2)设切点为(x0y0),

则直线l的斜率为f′(x0)=3x+1,

∴直线l的方程为y=(3x+1)(xx0)+xx0-16.

又∵直线l过点(0,0),∴0=(3x+1)(-x0)+xx0-16,

整理得x=-8,∴x0=-2,

y0=(-2)3+(-2)-16=-26,

k=3×(-2)2+1=13.

∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).

(3)∵切线与直线y=-+3垂直,

∴切线的斜率k=4.

设切点的坐标为(x0y0),则f′(x0)=3x+1=4,

x0=±1,∴

所以切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)=4(x+1).

即4xy-18=0或4xy-14=0.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x|mx|(x∈R),且f(4)=0.

(1)求实数m的值;

(2)作出函数f(x)的图像;

(3)根据图像指出f(x)的单调递减区间;

(4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集;

(5)求当x∈[1,5)时函数的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:新课标高三数学对数与对数函数、反比例函数与幂函数专项训练(河北) 题型:解答题

已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=2loga(2x+t)(t∈R),其中x∈[0,15],a>0,且a≠1.
(1)若1是关于x的方程f(x)-g(x)=0的一个解,求t的值;
(2)当0<a<1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求t的取值范围;

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2014届江西省高二下学期第二次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知函数f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.

(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);

(2)若任意x∈R,f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013届新课标高三配套第四次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;

(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年湖南省、岳阳县一中高三11月联考理科数学 题型:解答题

(本小题满分13分)(第一问8分,第二问5分)

已知函数f(x)=2lnxg(x)=ax2+3x.

(1)设直线x=1与曲线yf(x)和yg(x)分别相交于点PQ,且曲线yf(x)和yg(x)在点PQ处的切线平行,若方程f(x2+1)+g(x)=3xk有四个不同的实根,求实数k的取值范围;

(2)设函数F(x)满足F(x)+xf′(x)-g′(x)]=-3x2-(a+6)x+1.其中f′(x),g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数;试问是否存在实数a,使得当x∈(0,1]时,F(x)取得最大值,若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案