Question

已知函数f(x)=

(x+1)lnx

x-1

(x＞0且x≠1)
（1）讨论函数f（x）的单调性
（2）证明：f（x）＞2．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数的解析式，可得f′(x)=

-2lnx+x- 1 x

(x-1)2

，构造函数g（x）=-2lnx+x-

1

x

，利用导数法，可得当x∈（0，1）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（2）原不等式可化为

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0，构造函数h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，利用导数法，可得当x∈（0，1）时和x∈（1，+∞）时，h（x）与

x+1

x-1

同号，即

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0成立，进而得到结论；

解答：解：（1）∵f(x)=

(x+1)lnx

x-1

(x＞0且x≠1)
∴f′(x)=

-2lnx+x- 1 x

(x-1)2

令g（x）=-2lnx+x-

1

x

则g′（x）=

-2

x

+1+

1

x2

=(

x-1

x

)2
由g′（x）≥0恒成立得，g（x）在（0，+∞）单调递增，
又∵g（1）=0
故当x∈（0，1）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（2）证明：原不等式就是

(x+1)lnx

x-1

-2＞0，即

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0
令h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

则h′（x）=

1

x

(

x-1

x+1

)2
∵h′（x）≥0恒成立得，h（x）在（0，+∞）单调递增，
又∵h（1）=0
故当x∈（0，1）时，h（x）＜0，

x+1

x-1

＜0，此时

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0成立；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，

x+1

x-1

＞0，此时

x+1

x-1

[lnx-

2(x-1)

x+1

]＞0成立；
∴当x＞0且x≠1时，f（x）＞2

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数单调性的性质，其中构造函数法属于导数应用的难点．