Question

如图，在长方体中，AB=b，BC=c，CC₁=a，且a＞b＞c，求沿着长方体表面A到C₁最短路线长．

Answer 1

考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题

专题：空间位置关系与距离

分析：求A点到C₁的最短距离，由两点之间直线段最短，想到需要把长方体剪开再展开，把A到C₁的最短距离转化为求三角形的边长问题，根据实际图形，应该有三种展法，展开后利用勾股定理求出每一种情况中AC₁的长度，比较三个值的大小后即可得到结论．

解答： 解：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面可有三种不同的方法展开，如图所示．
不妨设AB=a，AD=b，AA₁=c．
表面展开后，依第一个图形展开，AC₁=

(b+c)2+a2

=

a2+b2+c2+2bc

．
依第二个图形展开，AC₁=

(a+b)2+c2

=

a2+b2+c2+2ab

．
依第三个图形展开，AC₁=

(a+c)2+b2

=

a2+b2+c2+2ac

．
∵a＞b＞c，
∴ab＞ac＞bc
∴A点沿长方形表面到C₁的最短距离为

a2+b2+c2+2bc

．

点评：本题考查了点、线、面之间的距离，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了数学转化思想方法，解答的关键是想到对长方体的三种展法，是中档题．