Question

17．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}kx-k（x≥0）\\{x^2}+2ax-{（{a-2}）^2}（x＜0）\end{array}\right.$，其中a∈R，若对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，则k的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由条件可知f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且-（a-2）²=-k，从而得出a的范围，继而求出k的最小值．

解答 解：当x＜0时，f（x）=（x+a）²-a²-（a-2）²，
∵对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且-（a-2）²=-k，即k=（a-2）²．
∴-a≥0，即a≤0．
∴当a=0时，k取得最小值4．
故选：D．

点评 本题考查了二次函数的单调性与最值计算，属于中档题．