Question

已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M为AC上一点，N为BF上一点，且AM=FN=x有，设AB=a
（1）求证：MN∥平面CBE；
（2）求证：MN⊥AB；
（3）当x为何值时，MN取最小值？并求出这个最小值．

Answer 1

分析：（1）先由

MG

AB

=

MC

NC

=

NB

EF

相似性推知MG

∥ .

.

NH得出MNHG为平行四边形，从而求证MN∥GH，由线面平行的判定定理证得MN∥面BEC；（2）由AB⊥BC，AB⊥BE，结合线面垂直的判定定理证出AB⊥面BEC，从而有AB⊥GH，再由垂直于平行线中的一条，则垂直于另一条，得到MN⊥AB；
（3）由面ABCD⊥面ABEF，得到BE⊥面ABCD，从而有BE⊥BC，BG=

x

2

，BH=

2 a-x

2

，建立MN=GH=

BG2+BH2

二次函数模型从而求得最值．

解答：证明：（1）在平面ABC中，作MG∥AB，在平面BFE中，作NH∥EF，
连接GH∵AM=FN∴MC=NB∵

MG

AB

=

MC

NC

=

NB

EF

∴MG

∥ .

.

NH∴MNHG为平行四边形；∴MN∥GH
又∵GH⊆面BEC，MN_≠^?面BEC∴MN∥面BEC
（2）∵AB⊥BC，AB⊥BE∴AB⊥面BEC∵GH⊆面GEC∴AB⊥GH∵MN∥GH∴MN⊥AB
（3）∵面ABCD⊥面ABEF∴BE⊥面ABCD∴BE⊥BC
∵BG=

x

2

，BH=

2 a-x

2

∴MN=GH=

BG2+BH2

=

x2+x2-2 2 ax+2a2 2

=

x2- 2 ax+a2

（0＜a＜

2

a）
=

(x- 2 2 a)2+ a2 2

≤

2

2

a当且仅当x=

2

2

a时，等号成立；
∴当x=

2

2

a时，MN取最小值

2

2

a．

点评：本题主要通过平面图形中的相似性转化线线平行，进而转化为线面平行来考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定和培养学生平面和空间的转化及建模能力．