Question

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x-1）=-f（x+1），且x∈（-1，0）时，f（x）=2^x+

6

5

，则f（log₂20）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由条件可知函数的奇偶性和对称轴，然后根据奇偶性和对称轴的性质将条件进行转化即可求值．

解答： 解：∵函数f（x）满足f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
∵f（x-1）=-f（x+1），
∴f（x+1）=-f（x-1），
∴f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
即函数是周期函数周期是4．
∵log₂16＜log₂20＜log₂32，
∴4＜log₂20＜5，
即0＜log₂20-4＜1，
∴0＜log₂

20

16

＜1．
即-1＜-log₂

20

16

＜0．
∵x∈（-1，0）时，f（x）=2^x+

6

5

，
∴f（log₂20）=f（log₂20-4）=f（log₂

20

16

）=-f（-log₂

20

16

）=-f（log₂

20

16

）=-（

6

5

+2log2

4

5

）=-（

6

5

+

4

5

）=-2，
故答案为：-2

点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件确定函数的奇偶性和周期性是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．