Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，（a为实数）．
（Ⅰ）求当x∈（0，1]时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值-6．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，
当x∈[-1，0）时，（a为实数）．
∴当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0）．
…（3分）
（II）∵x∈（0，1]时，，
∴，
因为f（x）在（0，1]上是增函数，
所以f'（x）≥0在（0，1]上恒成立，
即在（0，1]上恒成立，
令，
g（x）在（0，1]上是单调增函数，
所以[g（x）]_max=g（1）=-1，
所以a≥-1．…（8分）
（Ⅲ）①当a≥-1时，
由（II）知f（x）在（0，1]上是增函数，
所以[f（x）]_max=f（1）=-6，
解得，与a≥-1矛盾．…（10分）
②当a＜-1时，
令f'（x）=0，，
当时，
，f（x）是增函数，
当时，
，f（x）是减函数．
所以，
即，
解得，．
综上，存在，
使得当x∈（0，1]时，
f（x）有最大值-6．…（14分）
分析：（Ⅰ）当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0）.．
（II），因为f（x）在（0，1]上是增函数，所以在（0，1]上恒成立，令，g（x）在（0，1]上是单调增函数，所以[g（x）]_max=g（1）=-1，由此能求出a的取值范围．
（Ⅲ）当a≥-1时，由f（x）在（0，1]上是增函数，知[f（x）]_max=f（1）=-6，解得，与a≥-1矛盾；当a＜-1时，当时，f（x）是增函数，当时，f（x）是减函数．由此能导出存在，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值-6．
点评：本题考查得用导数求闭区间上最值的应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，是高考的重点，解题时要认真审题，注意函数性质的灵活运用．