如图,椭圆经过点,离心率,直线的方程为.
(1)求椭圆的方程;
(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为.问:是否存在常数,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
(1);(2).
解析试题分析:(1)将点代入椭圆的方程得到,结合离心率且,即可求解出,进而写出椭圆的标准方程即可;(2)依题意知,直线的斜率存在,先设直线的方程为,并设,联立直线的方程与椭圆的方程,消去得到,根据二次方程根与系数的关系得到,由直线及的方程确定点的坐标(含),进而得到,
进而整理出(注意关注并应用共线得到),从而可确定的取值.
试题解析:(1)由在椭圆上得, ①
依题设知,则 ②
②代入①解得
故椭圆的方程为
(2)由题意可设的斜率为, 则直线的方程为 ③
代入椭圆方程并整理
得
设,则有 ④
在方程③中令得,的坐标为
从而
注意到共线,则有,即有
所以
⑤
④代入⑤得
又,所以.故存在常数符合题意.
考点:1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的综合问题;3.二次方程根与系数的关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,焦点F的坐标为(1,0).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设M、N是抛物线C的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为-4,直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B,求证:动直线AB恒过一个定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F为椭圆的右焦点,M、N两点在椭圆C上,且=λ(λ>0),定点A(-4,0).
(1)求证:当λ=1时,⊥;
(2)若当λ=1时,有·=,求椭圆C的方程..
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程;
(2)已知,过定点的动直线交轨迹于、两点,的外心为.若直线的斜率为,直线的斜率为,求证:为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-,0),(,0),离心率是.直线y=t与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆P,圆心为P.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;
(3)设Q(x,y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
过椭圆的左顶点作斜率为2的直线,与椭圆的另一个交点为,与轴的交点为,已知.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点,若轴上存在一定点,使得,求椭圆的方程.
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