Question

已知命题P：?x∈R，使x²-x+a=0；命题Q：函数y=

ax-1

ax2+ax+1

的定义域为R．
（1）若命题P为真，求实数a的取值范围；
（2）若命题Q为真，求实数a的取值范围；
（3）如果P∧Q为假，P∨Q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若命题P为真，说明x²-x+a=0有根，故令△≥0，解不等式求实数a的取值范围；
（2）若命题Q为真，说明ax²+ax+1＞0恒成立，分a=0与a≠0两种情况进行讨论求解实数a的取值范围
（3）如果P∧Q为假，P∨Q为真，说明命题P，Q一真一假，需要分两类求解分别为①P真Q假，②P假Q真

解答：解：（1）由题意，△≥0∴a≤

1

4

（2）由题意ax²+ax+1＞0恒成立
①a=0，成立；
②a≠0，

a=0 △＜0

，得到0＜a＜4
综上，0≤a＜4
（3）由题意，命题P，Q一真一假
①P真Q假：

a≤ 1 4 a＜0或a≥4

，得到a＜0
②P假Q真：

a＞ 1 4 0≤a＜4

，得到

1

4

＜a＜4
综上，a∈(-∞，0)∪(

1

4

，4)

点评：本题考查命题的真假判断与应用，求解的关键是根据题设条件对命题真假进行正确判断，以及对两个命题的等价条件的转化．正确转化题设条件是快捷正确解题的保证，本题易因为考虑不全导致错误，如第一问中，忘记考虑a=0情况．