Question

10．设函数f（x）=mx²-mx-1
（Ⅰ）若存在实数x，f（x）＜0成立，求m的取值范围；
（Ⅱ）若对于x∈[1，4]，f（x）＜-m+5恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题是关于存在性问题，要注意对二次项次数的讨论，是二次不等式问题要注意二次不等式与二次函数之间的互相转化；
（Ⅱ）函数在区间上恒成立问题，要转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求解函数的最值，列出关于实数m的不等式，达到求解该题的目的．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2mx-m=m（2x-1），
m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
若存在实数x，f（x）＜0成立，
则只需f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$m-1＜0，显然成立，
m＜0时，f（x）开口向下，满足题意，
m=0时，f（x）=-1，满足题意，
综上，m∈R；
（Ⅱ）当m=0时，f（x）=-1＜0显然恒成立；
当m≠0时，该函数的对称轴是x=$\frac{1}{2}$，f（x）在x∈[1，4]上是单调函数．
当m＞0时，由于f（1）=-1＜0，要使f（x）＜0在x∈[1，4]上恒成立，只要f（4）＜0即可．
即16m-4m-1＜0得m＜$\frac{1}{12}$，即0＜m＜$\frac{1}{12}$；
当m＜0时，若△＜0，由（1）知显然成立，此时-4＜m＜0；若△≥0，则m≤-4，
由于函数f（x）＜0在x∈[1，4]上恒成立，只要f（1）＜0即可，此时f（1）=-1＜0显然成立，
综上可知：m＜$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查函数恒成立问题的解决思路和方法，考查函数与不等式的综合问题，考查二次函数与二次不等式的互相转化问题，考查学生的转化与化归的思想和方法、解不等式的思想，考查学生分析问题解决问题的能力．