Question

若函数f（x）满足以下两条规则：
①在区间D上的任何取值都有意义；
②对于区间D上的任意n个值x₁，x₂，x₃，…，x_n，总满足

f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)

n

≥f（

x1+x2+x3+…+xn

n

）．
我们称函数f（x）为区间D上的凹函数．那么，下列函数中是区间[0，

π

2

]上的凹函数的个数是（　　）
（1）f（x）=sin x；（2）f（x）=-cos x；（3）f（x）=tan（x+

π

4

）；（4）f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,余弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据三角函数的图象以及凹函数的定义和图象进行判断即可．

解答： 解：要判断是不是凹函数，先明确凹函数的定义．
画图象易知（1）f（x）=sin x不是区间[0，

π

2

]上的凹函数；
当x=

π

4

∈[0，

π

2

]时，f（x）=tan（x+

π

4

）不存在，所以不满足①，
（2）f（x）=-cos x是区间[0，

π

2

]上的凹函数；
（3）f（x）=tan（x+

π

4

）不是区间[0，

π

2

]上的凹函数；
（4）取特殊值x₁=0，x₂=

π

2

，则

f(x1)+f(x2)

2

=

3 sin(- π 3 )+ 3 sin(π- π 3 )

2

=0，f（

x1+x2

2

）=

3

cos

π

3

=

3

2

，
所以

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

），所以函数f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）不满足②，故不是区间[0，

π

2

]上的凹函数．综上知，正确的是选A．
故选：A

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质的判断，根据凹函数的定义和图象是解决本题的关键．