Question

15．设x+y+z=19，则函数u=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$+$\sqrt{{z}^{2}+16}$的最小值为$\sqrt{442}$．

Answer 1

分析 把u=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$+$\sqrt{{z}^{2}+16}$平方，然后利用柯西不等式放缩，结合已知求得最值．

解答 解：∵x+y+z=19，u=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$+$\sqrt{{z}^{2}+16}$，
∴${u}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+29+（2\sqrt{（{x}^{2}+4）（{y}^{2}+9）}+\sqrt{（{y}^{2}+9）（{z}^{2}+16）}+\sqrt{（{x}^{2}+4）（{z}^{2}+16）}）$
≥x²+y²+z²+29+2（xy+6+yz+12+xz+8）
=（x+y+z）²+81=361+81=442．
∴u$≥\sqrt{442}$（当且仅当$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}，\frac{y}{z}=\frac{3}{4}，\frac{z}{x}=2$时等号成立）．
故答案为：$\sqrt{442}$．

点评 本题考查函数最值的求法，训练了利用柯西不等式求最值，是中档题．