Question

已知函数f（x）=1+

a

2x+1

(a∈R)．
（Ⅰ）是否存在实数a的值，使f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）若a=1，t（2^x+1）f（x）＞2^x-2对x∈R恒成立，求实数f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）若存在实数a使函数为R上的奇函数，则f（0）=0⇒1+

a

2

=0⇒a=-2，再用奇函数的定义证明；
若a=1，则f(x)=1+

1

2x+1

，因为(2x+1)f(x)=(2x+1)(1+

1

2x+1

)=2x+2，
（Ⅱ）由t（2^x+1）f（x）＞2^x-2对x∈R恒成立，得t（2^x+2）＞2^x-2，
由于2^x+2＞0，故t＞

2x-2

2x+2

=

(2x+2)-4

2x+2

=1-

4

2x+2

对x∈R恒成立，再求1-

4

2x+2

的范围．

解答： 解：（Ⅰ）若存在实数a使函数为R上的奇函数，则f（0）=0⇒1+

a

2

=0⇒a=-2
下面证明a=-2时f(x)=1-

2

2x+1

是奇函数
∵f(-x)=1-

2

2-x+1

=1-

2•2x

1+2x

=

1-2x

1+2x

=

-(1+2x)+2

1+2x

=-1+

2

1+2x

=-f(x)
对定义域R上的每一个x都成立，
∴f（x）为R上的奇函数．
∴存在实数a=-2，使函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）若a=1，则f(x)=1+

1

2x+1

，因为(2x+1)f(x)=(2x+1)(1+

1

2x+1

)=2x+2，
由t（2^x+1）f（x）＞2^x-2对x∈R恒成立，得t（2^x+2）＞2^x-2，
∵当x∈R时，2^x+2＞0，
∴t＞

2x-2

2x+2

=

(2x+2)-4

2x+2

=1-

4

2x+2

对x∈R恒成立，
∵x∈R时，∴2^x+2＞2，∴0＜

1

2x+2

＜

1

2

，-2＜-

4

2x+2

＜0
∴1-

4

2x+2

＜1，
∴t≥1．

点评：本题综合考查函数的奇偶性与函数的值域等问题，遇到函数恒成立的问题，常转化为求函数的最值问题，属于中档题．