Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

2an

an+2

（n∈N），
（1）写出a₂、a₃、a₄、a₅值；
（2）由前5项猜想数列{a_n}通项公式a_n并证明．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）直接有数列的递推公式进行递推即可得到结论．
（2）根据递推关系，猜想并进行证明即可得到结论．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=

2an

an+2

（n∈N），
∴a2=

2

3

，a3=

1

2

，a4=

2

5

，a5=

1

3

．
（2）猜想an=

2

n+1

，
由an+1=

2an

an+2

(n∈N)得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，
∴

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
∴数列{

1

an

}是等差数列，
首项

1

a1

=1，公差d=

1

2

，
∴

1

an

=

2

n+1

，an=

n+1

2

．

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及等差数列的证明，考查学生的推理能力．