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已知函数( a为常数、a∈R),
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a=1时,判断函数g(x)的零点的个数,并说明理由.
【答案】分析:(1)由f(x)的解析式求出f(x)的导函数,且求出f(x)的定义域,分a大于等于0和a小于0两种情况,分别令导函数大于0列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的递增区间;令导函数小于0列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的递减区间;
(2)把a=1代入f(x)中确定出f(x)的解析式,然后把f(x)的解析式代入到g(x)中确定出g(x)的解析式,求出g(x)的导函数,分别令导函数大于0和小于0得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到g(x)的最小值,根据最小值小于0得到函数没有零点即零点个数为0.
解答:解:(1)由f(x)=x2+alnx,得f′(x)=x+=,其中x>0.
当a≥0时,f′(x)>0对任意x∈(0,+∞)均成立,这是f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
当a<0时,由f′(x)>0⇒x>或x<-(舍)
由f′(x)<0⇒0<x<
∴f(x)在区间(,+∞)上单调递增,在区间(0,)上单调递减;

(2)a=1时,g(x)=f(x)-x3=x2+lnx-x3
g′(x)=x+-2x2=,其中x>0,
∴x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
∴[g(x)]min=g(1)=-<0,
∴函数g(x)零点的个数为0.
点评:此题考查学生会根据导函数的正负得到函数的单调区间,会根据函数的增减性得到函数的最值,掌握函数零点的判断方法,是一道综合题.
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