Question

已知函数（a为常数）的图象经过点（1，3）．
（1）求实数a的值；
（2）写出函数f（x）在[a，a+1]上的单调区间，并求函数f（x）在[a，a+1]上的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需要代入x=1即可得结果．
（2）首先要判断函数的单调区间，然后利用单调性来解答函数治值域的问题，这是求函数值域的重要方法．利用定义求单调区间的时候，要注意x₁，x₂的任意性，本题中求单调区间需要分1≤x₁＜x₂≤和-≤x₁＜x₂≤2进行讨论．
解答：解：（1）由已知=2a+1=3，得a=1；
    （2）有（1）知a=1，所以函数，
    在[1，2]上可设设1＜x₁＜x₂＜2，则
    f（x₁）-f（x₂）=（）-（）
=（x₁-x₂）+（-）
=（x₁-x₂）•
    因为0＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0，
    当1＜x₁＜x₂≤时，x₁•x₂-2＜0，所以＜0
    所以：f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
    所以f（x）在（1，]上是减函数．
    当≤x₁＜x₂＜2时，x₁•x₂-2＞0，所以＞0
    所以：f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
    所以f（x）在[，2）上是增函数．
    因此函数f（x）在[a，a+1]即在[1，2]上的单调区间为：
    减区间为，增区间为．
    所以函数在[1，2]上的最小值为f（）=，
    又因为f（1）=3，f（2）=3，所以函数的值域是．
点评：本题考查函数的解析式，函数值的求法，函数单调性以及利用函数单调性解答函数值域和最值的知识．