Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=

1

3

，sinB=

2

cosC．
（1）求tanC的值；
（2）若a=2

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的关系算出sinA=

2 2

3

．将sin（A+C）=sinB=

2

cosC，展开后两边都除以cosC，得关于tanC的方程，解之即可得出tanC值；
（2）由tanC的值算出cosC=

3

3

、sinC=

6

3

，从而sinB=

2

cosC=

2 3

3

．利用正弦定理算出c=

asinC

sinA

=2

6

，从而可得△ABC的面积S=

1

2

acsinB=8．

解答：解：（1）∵A为三角形的内角，且cosA=

1

3

，∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

又∵sinB=

2

cosC．
∴sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

2

cosC，
两边都除以cosC，得sinA+cosAtanC=

2

，即

2 2

3

+

1

3

tanC=

2

，
解之得tanC=

2

（2）∵tanC=

2

，
∴cosC=

cos 2C cos2C+sin2C

=

1 1+tan2C

=

3

3

，sinC=

1-cos2C

=

6

3

可得sinB=

2

cosC=

2 3

3

由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，得c=

asinC

sinA

=2

6

因此，△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×2

2

×2

6

×

2 3

3

=8．

点评：本题给出三角形的角的关系式，在已知一边的情况下求面积．着重考查了同角三角函数的关系、利用正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．