Question

如图，已知圆，经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于C，D两点，

（1）求椭圆的方程；

（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）因为右焦点和上顶点在圆上，代入圆的方程，得，，进而求得，从而确定椭圆的方程；（1）涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题，往往会用到结合根与系数的关系，利用“设而不求”的技巧，确定参数的值或范围．该题中，设直线的方程，并和椭圆方程联立，得关于的一元二次方程，并注意隐函条件，设交点，，构造向量，由题意得，，得关于的不等式，解不等式即得参数的取值范围.

试题解析：（1）∵圆G：经过点F、B．∴F（2，0），B（0，），∴，．∴．故椭圆的方程为．

（2）设直线的方程为．

由消去得．

设，，则，， 7分

∴．

∵，，

∴==．

∵点F在圆G的外部，∴，

即，解得或．由△=，解得．又，，∴．

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系.