【题目】已知圆,直线
.
(1)若直线与圆
交于不同的两点
,当
时,求实数
的值;
(2)若是直线
上的动点,过
作圆
的两条切线
、
,切点为
、
,试探究:直
是否过定点.若存在,请求出定点的坐标;否则,说明理由.
【答案】(1);(2)直线
过定点
【解析】
(1)由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离,再由点到直线的距离公式列式求得;
(2)解法1:设切点,
,动点
,求出两条切线方程,计算出直线
的方程,从而得到定点坐标;解法2:由题意可知,
、
、
、
四点共圆且在以
为直径的圆上,求出公共弦所在直线方程,再由直线系方程求得定点坐标.
(1),
点
到
的距离
,
即,解得
.
(2)解法1:设切点,
,动点
,则圆在点
处的切线方程为
,所以
,即
同理,圆在点处的切线方程为
又点
是两条切线的交点,
,
,
所以点,
的坐标都适合方程
,
上述方程表示一条直线,而过、
两点的直线是唯一的,
所以直线的方程为:
.
设,
则直线的方程为
,
即,
,解得
,
故直线过定点
.
解法2:由题意可知:、
、
、
为直径的圆上,
设,则此圆的方程为:
,
即:,
又、
在圆
上,
两圆方程相减得,
即,
,解得
,
故直线过定点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】销售某种活虾,根据以往的销售情况,按日需量x(公斤)属于[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500] 进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.这种活虾经销商进价成本为每公斤15元,当天进货当天以每公斤20元进行销售,当天未售出的须全部以每公斤10元卖给冷冻库.某水产品经销商某天购进了300公斤这种活虾,设当天利润为Y元.
(1)求Y关于x的函数关系式;
(2)结合直方图估计利润Y不小于300元的概率;
(3)在直方图的日需量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,日需量落入该区间的频率作为日需量取该区间中点值的概率,求Y的平均估计值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出下列命题,其中所有正确命题的序号是__________.
①抛物线的准线方程为
;
②过点作与抛物线
只有一个公共点的直线
仅有1条;
③是抛物线
上一动点,以
为圆心作与抛物线准线相切的圆,则此圆一定过定点
.
④抛物线上到直线
距离最短的点的坐标为
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当a=1时,写出的单调递增区间(不需写出推证过程);
(Ⅱ)当x>0时,若直线y=4与函数的图像交于A,B两点,记
,求
的最大值;
(Ⅲ)若关于x的方程在区间(1,2)上有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对数函数(
且
)和指数函数
(
且
)互为反函数.已知函数
,其反函数为
.
(1)若函数定义域为
,求实数
的取值范围.
(2)若为定义在
上的奇函数,且
时,
.求
的解析式.
(3)定义在上的函数
,如果满足:对任意的
,存在常数
,都有
成立,则称函数
是
上的有界函数,其中
为函数
的上界.若函数
,当
时,探究函数
在
上是否存在上界
,若存在求出
的取值范围,若不存在,请说明理由.
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