Question

【题目】已知函数

（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，若函数有两个极值点,求的最大值.

Answer 1

【答案】（1） ； （2） .

【解析】

（1）f（x）=alnx﹣x+1，利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．

（2）g（x）=alnx﹣x+，g′（x）=，由此利用导数性质能求出当x=e时，t（x）取得最大值，最大值为t（e）=．

（1），

当时，，所以在内单调递减，

则有，从而

当时，，得，当，有，则在上内单调递增，此时，与恒成立矛盾，因此不符合题意

综上实数的取值范围为.

( 2 )则

由已知，可得，即方程有2个不相等的实数根，

则，解得，其中

而g（x2）﹣g（x1）=alnx2﹣x2+﹣alnx1+x1﹣=aln+（x1﹣x2）+（﹣）

=（x2+）lnx22+﹣x2++x2

=2[（+x2）lnx2+﹣x2]，

由可得，又，所以

设，

，由，则，故

所以在单调递增，当时，取得最大值，最大值为