Question

【题目】设函数在上有意义，实数和满足，若在区间上不存在最小值，则称在上具有性质.

（1）当，且在区间上具有性质时，求常数的取值范围；

（2）已知，且当，，判断在区间上是否具有性质，请说明理由：

（3）若对于满足的任意实数和，在上具有性质时，且对任意，当时有：，证明：当时，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）具有性质；（3）略.

【解析】

（1）分别讨论与1和2的关系，即可得出是否存在最小值，从而求出的取值范围；

（2）由题目条件可得出在区间，上如果有最小值，则最小值必在区间，上取到，又在区间，上不存在最小值，所以在区间，上具有性质；

（3）首先证明对于任意，；其次证明当且时，；当且时，；最后证明：当时，．

解：（1）当时，在，上存在最小值；

当时，在，上存在最小值（2）；

当时，在，上单调递增，所以不存在最小值．

所以．

（2）因为时，，

所以在区间，上如果有最小值，则最小值必在区间，上取到

另一方面，在区间，上不存在最小值，

所以在区间，上具有性质．

（3）①首先证明对于任意，．

当时，由

可知介于和之间．若，

则在区间，上存在最小值，矛盾．

利用归纳法和上面结论可得：对于任意，，当时，．

②其次证明当且时，；当且时，．

任取，设正整数满足，则．

若存在使得，则，

即．由于当时，，

所以在区间，有最小值，矛盾．

类似可证，当且时，．

③最后证明：当时，．

当时，成立．当时，由可知，

存在使得，所以．

当时，有：

若，则，

所以在，上存在最小值，故不具有性质，故不成立．

若，则，，

假设，则在，上存在最小值，

故不具有性质，故假设不成立．

所以当时，对于任意都成立．

又，故当、，

所以，即．

所以当时，则存在正整数使得，则

所以当时，，同理可证得当时，．

所以当时，必然存在正整数，使得，所以；

当时，显然成立；

所以综上所述：当时，．