Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，SD=AD=2，G是SB的中点．
（1）求证：AC⊥SB；
（2）求证：AB∥平面SCD；
（3）求AB与SC所成的角；
（4）求证：平面GAC⊥平面ABCD
（5）求三棱锥B-AGC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由正方形性质得AC⊥BD，由线面垂直得AC⊥SD，从而AC⊥平面SBD，由此能证明AC⊥SB．
（2）由四棱锥S-ABCD的底面为正方形，得AB∥CD，由此能证明AB∥平面SCD．
（3）由AB∥CD，知∠SCD是AB与SC所成的角，由此能求出AB与SC所成的角．
（4）设AC∩BD=O，由已知条件得OG∥SD，从而OG⊥底面ABCD，由此能证明平面GAC⊥平面ABCD．
（5）由OG⊥底面ABCD，且OG=

1

2

SD=1，S△ABC=

1

2

AB•BC，能求出三棱锥B-AGC的体积．

解答： （1）证明：∵四棱锥S-ABCD的底面为正方形，∴AC⊥BD，
∵SD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥SD，又BD∩SD=D，
∴AC⊥平面SBD，
∵SB?平面SBD，∴AC⊥SB．
（2）证明：∵四棱锥S-ABCD的底面为正方形，∴AB∥CD，
又∵AB不包含于平面SCD，CD?平面SCD，
∴AB∥平面SCD．
（3）解：∵AB∥CD，∴∠SCD是AB与SC所成的角，
∵四棱锥S-ABCD的底面为正方形，
SD⊥底面ABCD，SD=AD=2，
∴∠SCD=45°，
∴AB与SC所成的角为45°．
（4）证明：设AC∩BD=O，
∵ABCD是正方形，∴O是BD中点，
∵G是SB的中点，∴OG∥SD，
∵SD⊥底面ABCD，∴OG⊥底面ABCD，
∵OG?平面GAC，
∴平面GAC⊥平面ABCD．
（5）解：∵OG⊥底面ABCD，且OG=

1

2

SD=1，
S△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×2×2=2，
∴三棱锥B-AGC的体积V=

1

3

×OG×S△ABC=

1

3

×1×2=

2

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．