Question

命题p：函数f（x）=log 

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3

（x²-mx+3m）是区间[1，+∞）上的减函数，命题q：函数f（x）=

4

3

x³-2mx²+（4m-3）x-m在（-∞，+∞）上单调递增．若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：导数的综合应用,简易逻辑

分析：函数f(x)=log

1

3

(x2-mx+3m)是区间[1，+∞）上的减函数，可得

u(x)=x2-mx+3m是[1，+∞)上的增函数 u(x)=x2-mx+3m＞0在[1，+∞)上恒成立

．由f'（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0对x∈R恒成立得△=（-4m）²-16（4m-3）≤0⇒1≤m≤3．由p∧q为假，p∨q为真，得p与q一真一假，

解答： 解：∵函数f(x)=log

1

3

(x2-mx+3m)是区间[1，+∞）上的减函数，
∴

u(x)=x2-mx+3m是[1，+∞)上的增函数 u(x)=x2-mx+3m＞0在[1，+∞)上恒成立

，
∴

m 2 ≤1 u(1)＞0

，
∴-

1

2

＜m≤2．
即命题p真，则-

1

2

＜m≤2．
由f'（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0对x∈R恒成立，
得△=（-4m）²-16（4m-3）≤0⇒1≤m≤3，
即命题q真，则1≤m≤3．
由p∧q为假，p∨q为真，得p与q一真一假，
若p真q假时，则

- 1 2 ＜m≤2 m＜1或m＞3

⇒-

1

2

＜m＜1．
若p假q真时，则

m＞2或m≤- 1 2 1≤m≤3

⇒2＜m≤3．

点评：本题考查了对数函数及复合函数的单调性、利用导数研究函数的单调性的方法、二次函数与判别式的关系、复合命题的真假判断方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．