Question

一个盒子中装有分别标有数字1、2、3、4的4个大小、形状完全相同的小球，现从中有放回地随机抽取2个小球，抽取的球的编号分别记为x₁、x₂，记ξ=|x₁-1|+|x₂-2|．
（Ⅰ）求ξ取最大值的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）当x₁=x₂=4时，ξ═|4-1|+|4-2|=5最大，由此能求出ξ取最大值的概率．
（Ⅱ）ξ=0，1，2，3，4，5，分别求出相应在的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）当x₁=x₂=4时，ξ═|4-1|+|4-2|=5最大，
ξ取最大值的概率为：
P（ξ=5）=

1

16

．
（Ⅱ）ξ=0=|1-1|+|2-2|，
ξ=1=|1-1|+|1-2|=|1-1|+|3-2|=|2-1|+|2-2|，
ξ=2=|1-1|+|4-2|=|2-1|+|1-2|=|2-1|+|3-2|=|3-1|+|2-2|，
ξ=3=|2-1|+|4-2|=|3-1|+|4-2|=|3-1|+|3-2|=|4-1|+|2-2|，
ξ=4=|3-1|+|4-2|=|4-1|+|1-2|=|4-1|+|3-2|，
ξ=5=|4-1|+|4-2|，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 16	3 16	4 16	4 16	3 16	1 16

Eξ=0×

1

16

+1×

3

16

+2×

4

16

+3×

4

16

+4×

3

16

+5×

1

16

=

5

2

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．