Question

下列命题中正确命题的个数是（　　）
①对任意两向量

a

、

b

，均有：|

a

|-|

b

|＜|

a

|+|

b

|
②若单位向量

a

、

b

夹角为120°，则当|2

a

+x

b

|（x∈R）取最小值时，x=1
③若

OB

=（6，-3），

OA

=（3，-4），

OC

=（5-m，-3-m），∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m＞-

3

4

④在四边形ABCD中，（

AB

+

BC

）-（

CD

+

DA

）=

0

．

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：①让|

b

|=0，便不符合该命题，所以该命题错误．
②为求|2

a

+x

b

|，先求(2

a

+x

b

)2，只要让(2

a

+x

b

)2最小即可．
③由∠ABC为锐角，能得到0＜cos∠ABC＜1，根据向量的夹角计算公式便可得到m的取值范围．
④根据向量的加法，减法运算便可判断该命题．

解答： 解：①若设|

b

|=0，则有|

a

|-|

b

|=|

a

|+|

b

|．
②(2

a

+x

b

)2=4+4x×(-

1

2

)+x2=x²-2x+4=（x-1）²+3≥3
∴x=1时，|2

a

+x

b

|取得最小值．所以该命题正确．
③根据已知条件：

BA

=(-3，-1)，

BC

=(-m-1，-m)；
∴

BA

•

BC

=4m+3，|

BA

|=

10

，|

BC

|=2m²+2m+1；
∴cos∠ABC=

4m+3

2m2+2m+1

；
∵∠ABC为锐角，∴0＜

4m+3

2m2+2m+1

＜1，解得m＞

1+ 5

2

，   或m＜

1- 5

2

，所以该命题错误．
④(

AB

+

BC

)-(

CD

+

DA

)=2

AC

，所以本命题错误．
所以正确的命题个数为：1．
故选B．

点评：考查的知识点有：向量的数量积的运算公式，向量夹角的计算公式，向量的加减法，两向量模的差与模的和的大小关系，注意求一个向量的长度，先求该向量的平方的方法．