Question

三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=

13

，SB=

29

（1）证明：SC⊥BC；
（2）求三棱锥的体积V_S-ABC．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用SA⊥平面ABC，根据三垂线定理，可得SC⊥BC．
（2）求三棱锥S-ABC的体积，由题设条件得，棱锥的高是SA，底面是直角三角形，体积易求；

解答： （1）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°
∴SA⊥AB，SA⊥AC，
又AB∩AC=A，
∴SA⊥平面ABC…（4分）
∴SA⊥BC…（5分）
又∠ACB=90°，∴AC⊥BC
∴BC⊥平面SAC…（7分）
∴SC⊥BC…（8分）
（2）解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=

13

，∴AB=

17

，…（10分）
又在△SAB中，SA⊥AB，AB=

17

，SB=

29

，∴SA=2

3

…（12分）
又SA⊥平面ABC，∴VS-ABC=

1

3

×(

1

2

×2×

13

)×2

3

=

2 39

3

…（14分）

点评：本题以三棱锥为载体，考查线线垂直，考查几何体的体积，关键是正确运用线面垂直的判定．