Question

已知函数f（x）=2sin（

π

4

+x）cos（

π

4

-x）-1
（1）求函数f（x）的周期；
（2）若函数g（x）=f（x）-2

3

cos²x，试求函数g（x）的单调递增区间；
（3）若f²（x）-cos2x≥m²-m-7恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）将函数f（x）进行化简，利用三角函数的周期公式即可求函数f（x）的周期；
（2）求出函数g（x）=f（x）-2

3

cos²x的表达式，即可求出函数g（x）的单调递增区间；
（3）求出f²（x）-cos2x的最小值，利用参数分离法，求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）因为f(x)=2sin(

π

4

+x)sin(

π

4

+x)-1
=2sin2(

π

4

+x)-1=-cos(

π

2

+2x)=sin2x
所以f（x）的周期T=

2π

2

=π．…（2分）
（2）由（1），知g(x)=f(x)-2

3

cos2x=sin2x-

3

cos2x-

3

=2sin(2x-

π

3

)-

3

…（2分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

π

6

≤2x≤2kπ+

5π

6

，
从而kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
所以函数g（x）的单调递增区间[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．…（2分）
（3）因为f²（x）-cos2x=sin²2x-cos2x=-cos²2x-cos2x+1
=-(cos2x+

1

2

)2+

5

4

…（1分）
所以，当cos2x=1时，（f²（x）-cos2x）_min=-1．…（1分）
f²（x）-cos2x≥m²-m-7恒成立，
等价于m²-m-7≤（f²（x）-cos2x）_min
所以，m²-m-7≤-1，即m²-m-6≤0，解得-2≤m≤3．
所以，实数m的取值范围为[-2，3]．…（2分）

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的关系式将函数进行化简是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．