Question

（文科）已知如图，在三棱锥P-ABC中，顶点P在底面的投影H是△ABC的垂心．
（Ⅰ）证明：PA⊥BC；
（Ⅱ）若PB=PC，BC=2，且二面角P-BC-A度数为60°，求三棱锥P-ABC的体积V_P-ABC的值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接AH，并延长交BC于D，连接BH，并延长交AC于E，连接PD，证明H是△ABC的垂心，BC⊥面PAD，即可证明：PA⊥BC；
（Ⅱ）证明AB=AC，△ABD∽△BHD，求出△PAD的面积，即可求三棱锥P-ABC的体积V_P-ABC的值．

解答： （Ⅰ）证明：连接AH，并延长交BC于D，连接BH，并延长交AC于E，连接PD，
由PH⊥面ABC，得PH⊥BC，
又H是△ABC的垂心，可得AD⊥BC，而PH∩AD=H，
则BC⊥面PAD，所以PA⊥BC；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥面PAD，则BC⊥PD，
所以∠PDA为二面角P-BC-A的平面角，则有∠PDA=60°
由BC⊥PD，PB=PC，可知BD=DC，
又BC⊥AD，所以AB=AC
在△ABC中，因为H是垂心，由平面几何可知△ABD∽△BHD，
所以

AD

BD

=

BD

DH

，⇒AD•DH=BD2=1，则S△PAD=

1

2

AD•PH=

1

2

AD•DH•tan60°=

3

2

，
所以VP-ABC=

1

3

S△PAD•BC=

1

3

×

3

2

×2=

3

3

．…（9分）

点评：本题考查线面垂直、线线垂直，考查三棱锥P-ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．