Question

已知OPQ是半径为1，圆心角为

π

4

的扇形，C是扇形弧上的动点．ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=θ．
（1）求当角θ取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．
（2）当矩形ABCD的面积为

6 -2

4

时，求角θ的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,弧度制的应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）在Rt△OBC中：OB=cosθ，BC=sinθ，利用直角三角形中的边角关系求出OA，可得AB，可得矩形ABCD的面积S=AB•BC=（cosθ-sinθ）sinθ，再利用三角恒等变换化为

2

2

sin(2θ+

π

4

)-

1

2

，利用正弦函数的定义域和值域求得面积S的最大值．
（2）当S=

2

2

sin(2θ+

π

4

)-

1

2

=

6 -2

4

时，求得sin(2θ+

π

4

)=

3

2

，再结合θ的范围，求出θ的值．

解答： 解：（1）在Rt△OBC中：OB=cosθ，BC=sinθ，
在Rt△OAD中：

AD

OA

=tan

π

4

=1，∴OA=AD=BC=sinθ，AB=OB-OA=cosθ-sinθ，
所以矩形ABCD的面积S=AB•BC=（cosθ-sinθ）sinθ
=cosθsinθ-sin²θ=

1

2

sin2θ-

1-cos2θ

2

=

1

2

(sin2θ+cos2θ)-

1

2

=

2

2

(

2

2

sin2θ+

2

2

cos2θ)-

1

2

=

2

2

sin(2θ+

π

4

)-

1

2

，
由0＜θ＜

π

4

，得

π

4

＜2θ+

π

4

＜

3π

4

，
所以当2θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

8

时，Smax=

2

2

-

1

2

．
（2）当S=

2

2

sin(2θ+

π

4

)-

1

2

=

6 -2

4

时，即sin(2θ+

π

4

)=

3

2

，
又因为

π

4

＜2θ+

π

4

＜

3π

4

，所以2θ+

π

4

=

2π

3

，即θ=

5π

24

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，直角三角形中的边角关系，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．