Question

已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知可得二次函数f（x）关于直线x=1对称，又由二次函数f（x）的最小值为1，故可设f（x）=a（x-1）²+1，求出a值可得f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，则3a＜1＜a+1，解得实数a的取值范围；
（3）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，即2x²-4x+3＞2x+2m+1在区间[-1，1]上恒成立，进而将其转化为函数的最值问题可得答案．

解答： 解：（1）∵f（0）=f（2），
故二次函数f（x）关于直线x=1对称，
又由二次函数f（x）的最小值为1，
故可设f（x）=a（x-1）²+1，
由f（0）=3，得a=2，
故f（x）=2x²-4x+3．…（5分）
（2）要使函数不单调，
则3a＜1＜a+1，则0＜a＜

1

3

，…（10分）
（3）若在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，
即2x²-4x+3＞2x+2m+1在区间[-1，1]上恒成立，
即x²-3x+1-m＞0在区间[-1，1]上恒成立，
设g（x）=x²-3x+1-m，则只要g（x）_min＞0，
而g（x）_min=g（1）=-1-m，
得m＜-1．…（15分）．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，二次函数的最值，单调性，对称轴，恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．