Question

已知椭圆x²+

y2

4

=1的左，右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为

5

的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
（1）求曲线C的方程；
（2）设P、T两点的横坐标分别为x₁、x₂，证明：x₁•x₂=1．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依题意设双曲线C的方程，利用双曲线的离心率为

5

，建立等式，从而可求双曲线C的方程；
（2）设直线AP的方程与椭圆方程联立，确定P、T的横坐标，即可证得结论

解答： （1）解：依题意可得A（-1，0），B（1，0）．…（1分）
设双曲线C的方程为x2-

y2

b2

=1（b＞0），
因为双曲线的离心率为

5

，所以

1+b2

=

5

，即b=2．
所以双曲线C的方程为x2-

y2

4

=1．…（3分）
（2）证明：设点P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），
则直线AP的方程为y=k（x+1），…（4分）
代入椭圆方程整理，得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0，
解得x=-1或x=

4-k2

4+k2

．
所以x₂=

4-k2

4+k2

．．…（6分）
同理可得，x₁=

4+k2

4-k2

．…（7分）
所以x₁•x₂=1．…（8分）

点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．