Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求异面直线BC与C₁D₁所成的角；
（2）若E为AA₁的中点，求证：AC₁∥平面B₁D₁E．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由CD∥C₁D₁，得∠BCD是异面直线BC与C₁D₁所成的角（或补角），由此能求出异面直线BC与C₁D₁所成的角． 
（2）连结A₁C₁，交B₁D₁于点O，连结OE，由已知条件得OE∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面B₁D₁E．

解答： （1）解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中CD∥C₁D₁，
∴∠BCD是异面直线BC与C₁D₁所成的角（或补角）…（2分）
∴异面直线BC与C₁D₁所成的角为90°． …（4分）
（2）证明：连结A₁C₁，交B₁D₁于点O，
连结OE，∵四边形A₁B₁C₁D₁为平行四边形，
∴点O是A₁C₁的中点．…（6分）
∵E为AA₁的中点，∴OE∥AC₁，…（8分）
又∵AC₁?平面B₁D₁E，OE?平面B₁D₁E，
∴AC₁∥平面B₁D₁E． …（10分）

点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．