Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，左、右顶点分别是A、C，上顶点为B，记△FBC外接圆为圆P．
（Ⅰ）判断直线AB和圆P能否相切？并说明理由；
（Ⅱ）若椭圆短轴长为2

3

，且椭圆上的点到F点最近距离为1，M、N是该椭圆上满足|OM|²+|ON|²=7的两点，求证：|k_OM•k_ON|是定值，并求出此定值；
（Ⅲ）是根据（Ⅱ）的求解过程和结果，将命题进行推广，得到一个关于椭圆的一般性结论（无需证明）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）假设直线AB能与圆P相切，则k_AB•k_PB=-1，由此推导出c=2a，与0＜c＜a矛盾，从而线AB和圆P不能相切．
（Ⅱ）由a-c=1，2b=2

3

，得椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，由此利用点差法能证明|k_OM•k_ON|是定值

3

4

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）进行归纳整理，结合椭圆性质将命题进行推广，能得到一个关于椭圆的一般性结论

解答： （Ⅰ）解：由题意FC、BC的中垂直线方程公别为x=

a-c

2

，y-

b

2

=

a

b

(x-

a

2

)，
∴圆心坐标为（

a-c

2

，

b2-ac

2b

），
假设直线AB能与圆P相切，则k_AB•k_PB=-1，
∵kAB=

b

a

，kPB=

b- b2+ac 2b

0- a-c 2

=

b2+ac

b(c-a)

，
∴k_AB•k_PB=

b2+ac

a(c-a)

=-1，
∴a²-c²+ac=a²-ac，
∴c²=2ac，又c＞0，∴c=2a，
这与0＜c＜a矛盾，
∴线AB和圆P不能相切．
（Ⅱ）证明：由a-c=1，2b=2

3

，得a=2，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由M，N在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上，
得

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
又|OM|²+|ON|²=7，∴x12+y12+x22+y22=7，
即x12+3(1-

1

4

x12)+x22+3(1-

1

4

x22)=7，即x12+x22=4，
∵|k_OM•k_ON|=|

y1y2

x1x2

|=

y12y22 x12x22

=

3 4 (4-x12)• 3 4 (4-x22) x12x22

=

3

4

16-4(x12+x22)+x12x22 x12x22

=

3

4

，
∴|k_OM•k_ON|是定值

3

4

．
（Ⅲ）解：一般性结论：已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
M，N是该椭圆上满足|OM|²+|ON|²=a²+b²的两点，
则|k_OM•k_ON|=

b2

a2

（定值）．

点评：本题椭圆的标准方程的求法，考查两直线的斜率乘积的绝对值为定值的证明，考查命的推广，解题时要认真审题，注意点差数的合理运用．