Question

设函数y=f（x）在（-3，3）内是奇函数，且对任意x，y都有f（x）=f（y）+f（x-y），当x＜0时，f（x）＞0，f（1）=2．
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）判断f（x）在区间（-3，3）内的单调性，并证明；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x），求不等式g（x）≤0的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）令x=2，y=1，由f（x）-f（y）=f（x-y）及f（1）=-2即可求得f（2）；
（Ⅱ）在f（x）-f（y）=f（x-y）中，令x=x₁，y=x₂，结合已知条件及函数的单调性可以作出判断；
（Ⅲ）由奇函数的性质，g（x）≤0可化为f（x-1）-f（2x-3）≤0，也即f（x-1）≤f（2x-3），依据（2）问的单调性及函数定义域可得一不等式组，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）令x=2，y=1，
由f（x）-f（y）=f（x-y），得f（2）-f（1）=f（2-1）=f（1），
又f（1）=-2，解得f（2）=-4．
（Ⅱ）f（x）在（-3，3）上是减函数．
证明：在（-3，3）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
令x=x₁，y=x₂，
由f（x）-f（y）=f（x-y），得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），
∵当x＜0时，f（x）＞0，且x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-3，3）上是减函数．
（Ⅲ）由函数f（x）在（-3，3）上是奇函数，
得g（x）=f（x-1）+f（3-2x）=f（x-1）-f（2x-3），
g（x）≤0的解集即是f（x-1）-f（2x-3）≤0的解集．
f（x-1）-f（2x-3）≤0即是f（x-1）≤f（2x-3），
由（2）知奇函数f（x） 在（-3，3）上是减函数，
解得0＜x≤2．
∴不等式g（x）≤0的解集为{x|0＜x≤2}．

点评：本题考查抽象函数的单调性、奇偶性以及抽象不等式的解法，定义及函数性质是解决抽象函数问题的主要依据．