Question

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．点M是棱C₁B₁上的动点．
（1）当AC₁∥平面BMN时，确定点M点在棱C₁B₁上的位置；
（2）在（1）的条件下，求二面角B₁-BM-N的平面角的正切值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,简单空间图形的三视图,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）点M满足C₁M=

1

2

MB₁，AC₁∥平面BMN，证明OM∥AC₁，由线面垂直的判定定理，得到答案．
（2）利用面积射影法求出二面角B₁-BM-N的平面角的余弦值，即可求出二面角B₁-BM-N的平面角的正切值．

解答： 解：（1）点M满足C₁M=

1

2

MB₁，AC₁∥平面BMN，
由三视图可知，四边形ABB₁N为直角梯形，∴AN∥BB₁且AO=

1

2

OB₁，
∵C₁M=

1

2

MB₁，∴OM∥AC₁，
又OM?平面BMN，AC₁?平面BMN，∴AC₁∥平面BMN；
（2）S△B1BM=

1

2

×2×

2

3

=

2

3

，
△BMN中，BM=

4+ 4 9

=

2 10

3

，BN=

2

，MN=

2+ 4 9

=

22

3

，
∴BN²+MN²=BM²，
∴S_△BMN=

1

2

×

2

×

22

3

=

11

3

，
设二面角B₁-BM-N的平面角为α，则cosα=

2

11

，∴tanα=

7

2

点评：本题主要考查线面平行关系，及二面角的平面角等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力和运算求解能力．其中根据已知三视图分析出几何体的形状及几何特征是解答本题的关键．