Question

在三角形ABC中：
（1）若A+B=

π

4

，求（1+tanA）（1+tanB）的值．
（2）若lgtanA+lgtanC=2lgtanB，求证：

π

3

≤B＜

π

2

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：解三角形

分析：（1）利用正切的两角和公式求得tanA和tanB的关系式，进而化简整理即可求得（1+tanA）（1+tanB）的值．
（2）利用对数的运算法则和已知条件分别求得tanAtanB和tanA+tanB的表达式，利用构造方程根据判别式大于等于0求得tanB的范围，进而求得B的范围．

解答： 解：（1）由A+B=

π

4

得tan（A+B）=1即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=1，
即tanA+tanB=1-tanAtanB，
即tanAtanB+tanA+tanB=1，
即tanA（tanB+1）+（tanB+1）=2，
即（tanB+1）（tanA+1）=2，
即（1+tanA）（1+tanB）=2，
（2）由已知得：A，B，C都为锐角，tanA•tanC=tan²B，
∵tanA=-tan(B+C)=-

tanB+tanC

1-tanB•tanC

，
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，
∴tanA+tanC=tan³B-tanB，
∴tanA，tanC是方程x²-（tan³B-tanB）x+tan²B=0的两个实根，
∴△=（tan³B-tanB）²-4tan²B≥0，
即tan²B（tan²B-1）²-4tan²B≥0，
即（tan²B-1）²-4≥0，
即tan²B≥3或tan²B≤-1（舍去），
又因为B为锐角，所以tanB≥

3

．
所以

π

3

≤B＜

π

2

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．