Question

已知函数f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5

2

3

（x∈R），求：
（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）当x∈[0，

π

2

]时，函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=5sin（2x-

π

3

），由此可得它的周期．
（2）根据x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5

2

3

=

5

2

sin2x-5

3

•

1+cos2x

2

+

5

2

3

=5sin（2x-

π

3

），
故函数的周期为

2π

2

=π．
（2）∵当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴5sin（2x-

π

3

）∈[-

5 3

2

，5]，即函数的值域为[-

5 3

2

，5]．

点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．