Question

如图所示，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，∠ABC=45°，AB=SA=SB=2．
（1）证明：SA⊥BC；
（2）求直线SB与平面SDA所成的角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：平面向量及应用

分析：（1）由于侧面SBC⊥底面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理，可以过S作BC的垂线，若设垂足为O，连接OA，则SO⊥OA，所以很容易证明Rt△SOB⊥Rt△SOA，从而会得到∠BOA=90°，从而证明BC⊥平面SOA，∴SA⊥BC．
（2）要求直线SB与平面SDA所成的角，要先找到这个角，直接找不好找，这时候可以利用向量的办法，设过B作平面SDA的垂线，垂足设为E，然后根据向量的办法，找到E的坐标即可．找到坐标之后，直线SB与平面SDA所成的角就等于向量

SB

和

SE

所成角，利用向量便能求出这个角．

解答： （1）证明：作SO⊥BC，垂足是O，连接AO，SO；

∵侧面SBC⊥底面ABCD，侧面SBC∩底面ABCD=BC；
∴SO⊥底面ABCD；
又∵OA?底面ABCD；
∴SO⊥OA，SO⊥OB；
又 SA=SB
∴OA=OB；
又∠ABC=45°
∴OA⊥OB；
∴BC⊥OA
又∵BC⊥SO，SO∩AO=O
∴BC⊥平面SOA；
又∵SA?平面SOA
∴SA⊥BC．
（2）以OA、OB、OS为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系；
∵AB=2，∠ABC=45°
∴OB=

2

2

×2=

2

，OA=

2

，又SB=2，∴OS=

2

；
∴能确定以下几点坐标：
A(

2

，0，0)，S（0，0，

2

），B（0，

2

，0），设D（

2

，a，0），
若过B作平面ADS的垂线，设垂足为E（x₀，y₀，z₀），则：

AD

=(0，a，0)，

AS

=(-

2

，0，

2

)，

BE

=(x0，y0-

2

，z0)，

AE

=(x0-

2

，y0，z0)则：

BE

•

AS

=0，

BE

•

AD

=0，∴带入坐标得：a（y0-

2

）=0，-

2

x0+

2

z0=0，∴y0=

2

，x0=z0；
又E在平面ADS上，∴存在实数λ，μ使得

AE

=λ

AD

+μ

AS

，带入坐标得(z0-

2

，

2

，z0)=λ(0，a，0)+μ(-

2

，0，

2

)；
∴

z0- 2 =- 2 μ 2 =aλ z0= 2 μ

，解得z0=

2

2

，∴x0=

2

2

，∴E（

2

2

，

2

，

2

2

），∴

SB

=(0，

2

，-

2

)，

SE

=(

2

2

，

2

，-

2

2

)；
通过前面知：向量

SB

和

SE

所成的角就是直线SB与平面SDA所成的角，设这个角为θ，则：
cosθ=

SB • SE

| SB || SE|

═

2+1

2× 3

=

3

2

，∴θ=30°．

点评：第一问告诉我们，要证明线线垂直，可通过证明线面垂直得到．第二问的求解过程，便是利用向量方法求线面角的方法，需要掌握，并且利用向量的方法还可以求其它的夹角问题．考查的知识点为：面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，向量的数量积，平面向量基本定理，向量夹角．