Question

已知函数f（x）=ax²+3x+b（a＜0，a、b∈R）．设关于x的方程f（x）=0的两个实根分别为α、β
（1）若|α-β|=1，求a、b的关系式；
（2）若a、b均为负整数，且|α-β|=1，求f（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，若方程f（x）=（2m+2）x+2m+4至少有一个正根，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用根与系数之间的关系，结合条件|α-β|=1，即可求a、b的关系式；
（2）根据a、b均为负整数，且|α-β|=1，解方程组即可求f（x）的解析式；
（3）根据一元二次方程函数根的分布，建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：（1）由题意可得α、β是ax²+3x+b=0 的两个根，
∴

△=9-4ab＞0 α+β=- 3 a αβ= b a

，
∵|α-β|=1，∴|α-β|²=|α+β|²-4αβ=1，
即a²+4ab=9，（a＜0）．
（2）由（1）知a（a+4b）=9且a，b均为负整数，
故

a=-1 a+4b=-9

或

a+4b=-1 a=-9

（舍）或

a=-3 a+4b=-3

（舍），
解得a=-1，b=-2，
∴f（x）=-x²+4x-2．
（3）方程f（x）=（2m+2）x+2m+4，
即x²+（2m-2）x+2m+6=0，
方程至少有一个正根，有三种可能：
①有两个正根，此时可得

△≥0 f(0)＞0 2(m-1) -2 ＞0

，即

m≤-1或m≥5 m＞-3 m＜1

，
∴-3＜m≤-1，
②有一个正根，一个负根，此时可得f（0）＜0，得m＜-3，
③有一个正根，另一根为零，此时可得

6+2m=0 2(m-1)＜0

，
即

m=-3 m＜1

，
综合上述三种情况的m≤-1．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．