Question

非空数集A满足条件：若a∈A，a≠1，则

1

1-a

∈A．
①若2∈A，则在A中还有两个元素是什么？
②求证：集合A中至少有三个元素．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：①根据题意，可得若2∈A，则在A中还有两个元素是：

1

1-2

=-1，

1

1-(-1)

=

1

2

，据此解答即可；
②用反证法，假设集合A中有一个或两个元素，证明其不成立，即可推得A中至少有三个元素．

解答： 解：①因为a∈A，a≠1，则

1

1-a

∈A，
所以2∈A，则在A中还有两个元素是：

1

1-2

=-1，

1

1-(-1)

=

1

2

，
即A中还有两个元素是：-1、

1

2

；
②由

1

1-a

∈A，有

1

1- 1 1-a

∈A，即1-

1

a

∈A，
（1）若A中只有一个元素，
则a=

1

1-a

，
即a²-a+1=0，无解；
（2）若A中有两个元素，
由（1）知，a≠

1

1-a

，
则a=1-

1

a

，或

1

1- 1 1-a

=

1

1-a

，
易得两方程均无解；
所以集合A中至少有三个元素．

点评：此题主要考查了元素与集合关系的判断，以及反证法的运用，属于基础题．