Question

已知函数f（x）=（1+x）²e^ax（a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在实数a＜0，使得f（x）≤kx+k对任意的x∈[-1，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可求得函数的单调区间；
（Ⅱ）把恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数求得函数的最值即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，
f′（x）=（1+x）（ax+a+2）e^ax，
∵a≠0，∴由f′（x）=0得x=-1或x=-1-

2

a

当a＞0时，-1-

2

a

＜-1，由f′（x）＞0得x＞-1或x＜-1-

2

a

，
由f′（x）＜0得-1-

2

a

＜x＜-1，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-1-

2

a

）和（-1，+∞），单调递减区间为（-1-

2

a

，-1）；
当a＜0时，-1-

2

a

＞-1，由f′（x）＞0得-1＜x＜-1-

2

a

，
由f′（x）＜0得x＞-1-

2

a

或x＜-1，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，-1-

2

a

），单调递减区间为（-∞，-1）和（-1-

2

a

，+∞）；
综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（-∞，-1-

2

a

）和（-1，+∞），单调递减区间为（-1-

2

a

，-1）；
当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-1，-1-

2

a

），单调递减区间为（-∞，-1）和（-1-

2

a

，+∞）．
（Ⅱ）f（x）≤kx+k对任意的x∈[-1，+∞）恒成立，
?（1+x）²e^ax≤kx+k对任意的x∈[-1，+∞）恒成立，
当x=-1时，0≤0恒成立，∴k∈R，
当x＞-1时，等价于k≥（1+x）e^ax恒成立，
令g（x）=（1+x）e^ax，（x＞-1）则k≥g（x）_max
∵g′（x）=e^ax（ax+a+1），
∵a＜0，∴由g′（x）=0得x=-1-

1

a

＞-1，
∴x∈（-1，-1-

1

a

）时，g′（x）＞0，g（x）在（-1，-1-

1

a

）上为增函数，
x∈（-1-

1

a

，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在（-1-

1

a

，+∞）上为减函数，
∴g（x）_max=g（-1-

1

a

）=-

1

a

e^-a-1，
∴k≥-

1

a

e^-a-1，
即存在a＜0使得k≥-

1

a

e^-a-1成立；
设h（a）=-

1

a

e^-a-1，（a＜0），
∴只需k≥h（x）_min，
∵h′（a）=

1

a2

e^-a-1-（-

1

a

）e^-a-1=

a+1

a2

e^-a-1，
由h′（x）=0得a=-1，
∴a∈（-∞，-1）时，h′（a）＜0，h（a）在（-∞，-1）上为减函数，
a∈（-1，0）时，h′（a）＞0，h（a）在（-1，0）上为增函数，
∴h（a）_min=h（-1）=e⁰=1，
∴k≥1．

点评：本题主要考查利用导数求函数的单调区间及函数的最值等知识，考查学生对恒成立问题的等价转化能力及运算求解能力，属难题．