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    若A、B是椭圆
    x2
    4
    +y2=1上两点，O为坐标原点，OH⊥AB于点H，又OA与OB斜率分别为k1，k2，且满足k1•k2=-
    3
    4

    （1）求点H的轨迹方程
    （2）求△OAB面积的最大值．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）设H（x0，y0），直线AB的方程为：y-y0=-
    x0
    y0
    (x-x0)    ，又AB：y=kx+m．从而k=-
    x0
    y0
    ，m=
    x02+y02
    y0
    ，y=kx+m代入x2+4y2-4=0中，得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能求出点H轨迹方程．
    （2）|x1-x2|=
    4
    		16k2+1-m2
    4k2+1
    ，|AB|=
    		1+k2
    |x1-x2|    ，O到AB的距离d=
    |m|
    		1+k2
    ，由此能求出在对称轴
    1
    t
    =
    16
    2×28
    =
    2
    7
    时，S△OAB取最大值SOAB=
    11
    		7
    14
    ．
    解答： 解：（1）设H（x0，y0），OH⊥AB，A（x1，y1），B（x2，y2），
    直线AB的方程为：y-y0=-
    x0
    y0
    (x-x0)    ，
    又AB：y=kx+m．∴k=-
    x0
    y0
    ，m=
    x02+y02
    y0
    ，y≠0，
    y=kx+m代入x2+4y2-4=0中，得：
    （1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
    △=4a2b2（k2a2+b2-m2）=16（4k2+1-m2），
    ∵y1y2+
    3
    4
    x1x2=0    ，
    ∴（kx1+m）（kx2+m）+
    3
    4
    x1x2    =0，
    ∴（k 2+
    3
    4
    ）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
    由韦达定定理代入上式，得：
    3m2-4(
    3
    4
    +k2)+m2=0    ，
    m2=
    1
    4
    (4k2+3)=k2+
    3
    4
    ，
    ∴(
    x02+y02
    y0
    )2=(
    x0
    y0
    )2    +
    3
    4
    ，y0≠0，
    ∴(x02+y02)2=x02+
    3
    4
    y02    ，y0≠0，
    又k=-
    x0
    y0
    不存在时，即在y0=0时，
    由k1•k2=-
    3
    4
    知：设kOA=k1=
    		3
    2
    ，
    kOB=k2=-
    		3
    2
    ，此时直线AB：x=±1，H点（±1，0）可取，
    ∴点H轨迹方程为(x2+y2)2=x2+
    3
    4
    y2    ，去掉点（0，0）．
    （2）|x1-x2|=
    4
    		16k2+1-m2
    4k2+1
    ，|AB|=
    		1+k2
    |x1-x2|    ，
    O到AB的距离d=
    |m|
    		1+k2
    ，
    S△OAB=
    1
    2
    •|AB|•d=
    1
    2
    |x1-x2|•|m|
    =2
    		k2+
    3
    4
    •
    		(16k2+1)-(k2+
    3
    4
    )
    4k2+1
    ，
    (
    S△OAB
    2
    )2=
    (k2+
    3
    4
    )(15k2+
    1
    4
    )
    (4k2+1)2
    ，令4k2+1=t≥1，
    则(
    S△OAB
    2
    )2=
    1
    16
    (-
    28
    t2
    +
    16
    t
    +15)    ，
    在对称轴
    1
    t
    =
    16
    2×28
    =
    2
    7
    时，S△OAB取最大值，
    最大值为SOAB=
    11
    		7
    14
    ，此时k=±
    		10
    4
    ．
    点评：本题考查点的轨迹方程的求法．考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．
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    （Ⅲ）当a=-1时，证明|f(x)|＞
    lnx
    x
    +
    1
    2
    ．

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    •
    OB
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    π
    6
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    =
    α
    ，
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    =
    β
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    α
    、
    β
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    AB
    、
    AD
    ；
    （2）求向量
    α
    、
    β
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    ．

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