Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．
（1）求证：PA∥面EFG；
（2）求三棱锥C-EFG的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）根据面面平行的性质推出线面平行；
（2）利用等积法V_C-EFG=V_G-CEF进行求解即可．

解答： （1）证明：∵E、G分别是PC、BC的中点
∴EG是△PBC的中位线
∴EG∥PB
又∵PB?平面PAB，EG?平面PAB
∴EG∥平面PAB
∵E、F分别是PC、PD的中点
∴EF∥CD
又∵底面ABCD为正方形
∴CD∥AB
∴EF∥AB
又∵AB?平面PAB，EF?平面PAB
∴EF∥平面PAB
又EF∩EG=E
∴平面EFG∥平面PAB
∵PA?平面PAB
∴PA∥平面EFG
（2）解：∵底面ABCD为正方形
∴GC⊥CD
∵PD⊥平面ABCD
∴GC⊥PD
又∵CD∩PD=D
∴GC⊥平面PCD
∴GC为三棱锥G-PEF的高
∵PD=AB=2
∴V_C-EFG=V_G-CEF=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

．

点评：本题主要考察了面面平行的判定定理的应用，线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，及利用换顶点求解三棱锥的体积等知识的综合应用，此类试题也是立体几何的重点考察的试题类型．