Question

在直角坐标系中，角φ，2x的终边分别与单位圆（以原点O为圆心）交于A、B两点，函数f（x）=

OA

•

OB

，若f（x）≤f（

π

6

）对任意x∈R恒成立
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最小正周期，对称轴方程与单调递增区间．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题

分析：（1）先求得A，B坐标，再利用利用向量的数量积公式，结合f（x）≤f（

π

6

）对x∈R恒成立，确定函数的解析式；
（2）利用余弦函数的性质，即可求函数f（x）的最小正周期，对称轴方程与单调递增区间．

解答： 解：（1）∵角φ、2x的终边分别与单位圆（以原点O为圆心）交于A、B两点，
可得A（cosφ，sinφ），B（cos2x，sin2x）
∴f（x）=

OA

•

OB

，=cosφcos2x+sinφsin2x=cos（2x-φ）
∵f（x）≤f（

π

6

）对x∈R恒成立，
∴f（

π

6

）=1，即cos（2×

π

6

-φ）=1
∴φ-

π

3

=2kπ
∴φ=2kπ+

π

3

，k∈Z
∴f（x）=cos[2x-（2kπ+

π

3

）]=cos（2x-

π

3

），
即函数f（x）的解析式为f（x）=cos（2x-

π

3

）．
（2）由（1）知，f（x）=cos（2x-

π

3

）．
最小正周期T=π．
令2x-

π

3

=kπ，k∈Z，得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴f（x）的对称轴为x=x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
由2kπ-π≤2x-

π

3

≤2kπ，得kπ-

4π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

4π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数性质，考查学生计算能力，属于中档题