Question

已知函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

，x∈R（其中ω＞0）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为

π

2

，求函数y=f（x）的对称轴．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值

分析：（1）根据两角和与差的正弦公式及二倍角公式将函数f（x）的解析式进行化简，化简之后就能求得它的值域．
（2）由于函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为

π

2

，所以令f（x）=-1，解出的x便是y=-1与y=f（x）的交点的横坐标，找两个相邻的，令它们的差为

π

2

，解出ω即可．

解答： 解：（1）f（x）=sinωxcos

π

6

+cosωxsin

π

6

+sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

-1+cosωx
=

3

sinωx-cosωx-1=2sin(ωx-

π

6

)-1；
∴-3≤f（x）≤1
∴函数f（x）的值域是[-3，1]．
（2）∵函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为

π

2

；
∴令2sin(ωx-

π

6

)-1=-1得sin(ωx-

π

6

)=0；
∴取两个相邻的解为：ωx-

π

6

=0，或ωx-

π

6

=π，解得：x=

π

6ω

，或x=

7π

6ω

；
∴

7π

6ω

-

π

6ω

=

π

2

，∴ω=2；
∴函数f（x）的周期为π．
∴令2x-

π

6

=

π

2

+kπ得：x=

π

3

+

kπ

2

；
∴函数y=f（x）的对称轴是：x=

π

3

+

kπ

2

．

点评：考查的知识点为：两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦函数的对称轴．找出两个相邻交点的横坐标是求解本题的关键．