Question

已知函数f（x）=ax²+xlnx（a∈R）．
（1）当a=-

1

2

时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）在区间（1，2）内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出f′（x）f′（x）_max=f′（1）=0，从而f′（x）≤0，得函数f（x）在定义域内递减；
（2）

f(p+1)-f(q+1)

p-q

=

f(p+1)-f(q+1)

(p+1)-(q+1)

，表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，得f′（x）=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）内恒成立，得g（x）在（2，e）递减，在（e，3）递增，得2a≥-

ln2

2

，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）当a=-

1

2

时，f（x）=-

1

2

x²+xlnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=-x+1+lnx，
令F（x）=f′x），F′（x）=

1-x

x

，
当0＜x＜1时，F′（x）＞0，f′（x）在（0，1）递增，
当x＞1时，F′（x）＜0，f′（x）在（1，+∞）递减，
∴f′（x）_max=f′（1）=0，从而f′（x）≤0，
∴函数f（x）在定义域内递减；
（2）

f(p+1)-f(q+1)

p-q

=

f(p+1)-f(q+1)

(p+1)-(q+1)

，
表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
又1＜p＜2，1＜q＜2，2＜p+1＜3，2＜q+1＜3，
即函数f（x）的图象在区间（2，3）上的任意两点连线的斜率大于1，
即f′（x）=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）内恒成立，
等价于当x∈（2，3）时，2a＞-

lnx

x

恒成立，
设g（x）=-

lnx

x

，x∈（2，3），则g′（x）=

lnx-1

x2

，
若g′x）=

lnx-1

x2

=0，则x=e，
当2＜x＜e时，g′（x）＜0，g（x）在（2，e）递减，
当e＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）在（e，3）递增，
又g（2）=-

ln2

2

＞g（3），
∴2a≥-

ln2

2

，
∴a≥-

ln2

4

．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，参数的应用，是一道综合题．