Question

（理科）已知函数f（x）=e^x，g（x）=kx（k∈R）
（Ⅰ）若k=e²，试确定函数f（x）-g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k＞0，对于任意的x∈R，f（|x|）＞g（|x|）恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；
（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞g（|x|）恒成立，只需转化为f（x）＞0对任意x≥0成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）当k=e²时，设h（x）=f（x）-g（x）=e^x-xe²，
∴h'（x）=e^x-e²，
令h'（x）=0，则x=2
当x∈（-∞，2）时，h'（x）＞0，则函数h（x）是单调增函数；
当x∈（2，+∞）时，h'（x）＜0，则函数h（x）是单调减函数；
（Ⅱ）设w（x）=f（|x|）-g（|x|）=e^|x|-|x|k，
由于函数w（x）是偶函数，那么要使f（|x|）＞g（|x|），
只需要w（x）＞0在x＞0时成立即可；
当x＞0时，e^x＞1，若0＜k≤1，那么w'（x）=e^x-k＞0，函数w（x）单调递增，w（x）＞w（0）=1＞0，所以0＜k≤1…①
当x＞0时，令w'（x）=e^x-k=0，则x=lnk（k=e^x＞1）列表

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
w'（x）	-	0	+
w（x）	减函数	最小值	增函数

则w（x）_min=w（lnk）=k-klnk，解k-klnk＞0，则k＜e，结合式得1＜k＜e…②
综上所述，当0＜k＜e时，f（|x|）＞g（|x|）恒成立．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数的应用，考查学生的运算能力．