Question

已知数列{a_n}，a₁=1，点P（a_n，2a_n+1）（n∈N^*）在直线x-

1

2

y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）确定数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{a_n}的通项公式；
（2）先求出数列{b_n}的通项，由于该数列的通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和．

解答： 解：（1）∵点P（a_n，2a_n+1）（n∈N^*）在直线x-

1

2

y+1=0上，
∴a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴通项公式a_n=n；
（2）b_n=2ⁿa_n=n•2ⁿ．
T_n=1×2+2×2²+3×2³…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ，
则T_n=（n-2）•2ⁿ+2．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，以及错位相减法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．